Le mobile se déplace dans un carré de côté C. Pour repérer la position du mobile, deux balises sont disposées en O1 et O2. Le problème est de trouver les coordonnées x et y du robot, connaissant les angles.
Les balises mesurent les angles a et b qui sont comptés positifs dans le sens trigonométrique. Lorsqu'une balise vise la diagonale, l'angle vaut zéro.
La résolution va se faire en deux temps :
Tout d'abord on va calculer les coordonnées du point M dans le repère (O1,X',Y'), ceci afin de ne pas avoir d'angle qui pourrait approcher les 90° ce qui poserait des problèmes au niveau du calcul des tangentes. Dans ce repère, les angles a et b varient de -45° à +45°.
Ensuite, on va effectuer un changement de repère pour trouver les coordonnées du point M dans le repère (O1,X,Y).
Soit D la diagonale du carré : D = C . Ö2
On a tout d'abord les relations suivantes, en utilisant les triangles (01 M' M) et (O2 M' M).
tg(a) = y' / x'C'est un système de deux équations à deux inconnues x' et y' que l'on peut résoudre par subtitution :
tg(b) = y' / (D - x')
x' . tg(a) = (D - x') . tg(b)On en déduit la valeur de y' en reprenant la première équation du système :
x' . ( tg(a) + tg(b) ) = D . tg(b)
d'où x' = D . tg(b) / ( tg(a) + tg(b) )
y' = x' . ( tg(a) = D . tg(a) . tg(b) / ( tg(a) + tg(b) )Finalement, on a :
x' = D . tg(b) / ( tg(a) + tg(b) )
y' = D . tg(a) . tg(b) / ( tg(a) + tg(b) )
Il reste maintenant à faire le changement de coordonnées :
Plaçons nous dans le cas général où l'on souhaite passer du repère (O1,X',Y') au repère (O1,X,Y), en premant en compte l'angle q entre les deux repères. Les coordonnées du point M sont connues dans le repère (O1,X',Y') et on cherche à les déterminer dans le repère (O1,X,Y). Utilisons les vecteurs directeurs unitaires i, i', j, j' des axes X, X', Y et Y' :
Les vecteurs i' et j' peuvent être définis en fonction de i et j :
i' = cosq . i + sinq . jLe point M peut être défini de la manière suivante :
j' = -sinq . i + cosq . j
OM = x'.i' + y'.j'En remplaçant i' et j' par leur expression en fonction de i et j, on obtient :
OM = x'.(cosq . i + sinq . j) + y'.(-sinq . i + cosq . j)D'où finalement :
OM = (x'.cosq - y'.sinq) . i + (x'.sinq + y'.cosq) . j
x = x' . cosq - y' . sinq
y = x' . sinq + y' . cosq
Dans notre cas, q = 45°
On se rend compte que la position des balises n'est pas correcte car elle ne permet pas de déterminer la position du mobile lorsqu'il se trouve sur la diagonale 01 O2 !!!
