Tout d'abord on va calculer les coordonnées du point M dans le repère (O1,X',Y'). Dans ce repère, les angles a et b varient de -45° à +45°.
Ensuite, on va effectuer un changement de repère pour trouver les coordonnées du point M dans le repère (O1,X,Y).
tga = y' / x'C'est un système de deux équations à deux inconnues x' et y' que l'on peut résoudre par substitution :
tgb = ( D/2 - x' ) / ( D/2 + y' )
y' = x' . tgaOn en déduit la valeur de y' en reprenant la première équation du système :
( D/2 + y' ) . tgb = D/2 - x'
En reportant la valeur de y' dans la deuxième équation, on obtient :
( D/2 + x' . tga ) . tgb = D/2 - x'
x' . ( 1 + tga . tgb ) = D/2 . ( 1 - tgb )
D'où :
x' = D/2 . ( 1 - tgb ) / ( 1 + tga . tgb )
y' = x' . tga = D/2 . ( 1 - tgb ) . tga / ( 1 + tga . tgb )Finalement, on a :
x' = D/2 . ( 1 - tgb ) / ( 1 + tga . tgb )
y' = D/2 . ( 1 - tgb ) . tga / ( 1 + tga . tgb )
Plaçons nous dans le cas général où l'on souhaite passer du repère (O1,X',Y') au repère (O1,X,Y), en premant en compte l'angle q entre les deux repères. Les coordonnées du point M sont connues dans le repère (O1,X',Y') et on cherche à les déterminer dans le repère (O1,X,Y). Utilisons les vecteurs directeurs unitaires i, i', j, j' des axes X, X', Y et Y' :
i' = cosq . i + sinq . jLe point M peut être défini de la manière suivante :
j' = -sinq . i + cosq . j
OM = x'.i' + y'.j'En remplaçant i' et j' par leur expression en fonction de i et j, on obtient :
OM = x'.(cosq . i + sinq . j) + y'.(-sinq . i + cosq . j)D'où finalement :
OM = (x'.cosq - y'.sinq) . i + (x'.sinq + y'.cosq) . j
x = x' . cosq - y' . sinq
y = x' . sinq + y' . cosq